Фёдор Семёнович родился 31 января (12 февраля) 1821 года. С сентября 1835 г. Федор Семенович начал свое обучение в Московском дворянском институте, но полный его курс не окончил, так как по желанию отца перешел в тогда еще вновь учреждаемое Императорское училище правоведения. Дружил с сыном известного писателя Иваном Сергеевичем Аксаковым.

В 1843 году Ф.С. Унковский был зачислен в штат Министерства юстиции и назначен на должность казенных дел стряпчего во Владимирской губернии.

В 1844 году был командирован Владимирским губернским правлением для производства. В 1845-1846 гг. он исполнял должность товарища председателя Владимирской Уголовной палаты. В 1844 году Федор Семенович получил звание титулярного советника.

В феврале 1846 году он был переведен в Калужскую палату Гражданского суда товарищем председателя, в это же время в Калуге в Уголовной палате служил его друг по училищу Иван Сергеевич Аксаков.

В 1849 года получил назначение в Кострому губернским прокурором.

С 1850 года он был переведен в Ярославль, где сначала исполнял должность губернского прокурора, а затем – директора Ярославского тюремного комитета.

В 1851 году Федор Семенович за выслугу лет был произведен в надворные советники, в 1854 году – в коллежские советники, в 1857 году – в статские советники, а за отличное усердие и ревностную службу в 1858 году награжден орденом Св. Анны 2-й степени и знаком отличия беспорочной службы пятнадцатилетнего достоинства. В 1859 году Федор Семенович получил чин действительного статского советника.

В 1862 году Ф.С. Унковский был награжден орденом Св. Владимира 3-й степени и по болезни уволен со службы с мундиром.

Умер Ф.С. Унковский 17 (29) ноября 1863 года был похоронен в Калужском Лаврентьевском монастыре. Своей семьи Ф.С. Унковский не имел.