Иван Семёнович родился 30 марта (11 апреля) 1822 года. В 1835 году Семен Яковлевич определил его в Морской кадетский корпус, который последний окончил в 1839 году в звании мичмана. Свою военную службу И.С. Унковский начал в 8-м Балтийском флотском экипаже.

С апреля 1842 года Иван Семенович был назначен адъютантом к командующему флотом адмиралу М.П. Лазареву. Как представитель командующего, И.С. Унковский постоянно находился в плаваниях на различных кораблях. В 1843-1844 гг. в качестве вахтенного командира на бриге "Персей" он вначале отправился из Одессы в Пирей (Греция) с поручениями командования к российскому посланнику, а затем "со специальными заданиями" побывал во многих портах Средиземноморья. Итогом его похода в Архипелаг явился подробный отчет Морскому ведомству о состоянии иностранных военных флотов и политической обстановке, складывавшейся на Балканах к середине XIX века. Этот труд Ивана Семеновича высоко оценило начальство, наградив его орденом Св. Станислава 3-й степени.

Весной 1845 года лейтенант И.С. Унковский на пароходофрегате "Громоносец" нес крейсерную службу у восточных берегов Черного моря, где не раз высаживал воинские десанты. "За отличие" он был удостоен ордена Св. Анны 3-й степени.

В 1846 году Ивана Семеновича назначили командовать яхтой "Арианда". Когда в 1848 году на Балтике были объявлены императорские гонки на яхтах, то Черноморский флот в них представлял И.С. Унковский. Совершив переход на Арианде из Николаева в Кронштадт, команда яхты в упорных состязаниях одержала победу и была награждена высочайшим призом" - серебряным ковшом, украшенным драгоценными камнями, а ее командир получил раньше срока чин капитан-лейтенанта.

В 1849 году И.С. Унковский возглавил экипаж брига "Эней", на котором патрулировал абхазские берега, а в 1850- 1851 гг. с "особым" заданием ходил в Средиземное море.

В начале 1852 года Ивана Семеновича отозвали в Санкт-Петербург для определения его командиром фрегата Паллада. Фрегат отправлялся в Нагасаки (Япония) вместе с русской дипломатической миссией. 7 октября 1852 года фрегат "Паллада" снявшись с якоря, отправился из Крондштата в Тихий океан через южную оконечность африканского континента – мыс Доброй Надежды в длительное плавание, которое продолжалось около трех лет.

Весной 1854 года командой фрегата были произведены съемка и описание всего восточного берега Кореи к северу от 35-й параллели и прилегающие участки русского побережья. Русские моряки открыли залив, названный в честь старшего офицера фрегата Константина Николаевича Посвета, а также острова Римского-Корсакова и залив Ольги.

За проделанную исследовательскую работу Ивану Семеновичу в 1854 году присвоили чин капитана 2 ранга, а затем, по возвращению в столицу, его наградили орденом Св. Анны 2-й степени.

В 1855 году фрегат "Паллада", отслуживший свой срок, был разоружен и затоплен в заливе Хаджи (ныне - Советская гавань), а Иван Семенович Унковский "за особые заслуги" был произведен в капитаны 1 ранга с назначением командиром винтового фрегата "Аскольд". На этом корабле Иван Семенович вновь в 1857 году отправился на Дальний Восток, где, "состоя начальником штаба объединенных эскадр", плавал у берегов Японии, Кореи и Китая. Вернувшись на Родину весной 1860 года, И.С. Унковский получил чин контр-адмирала с зачислением в свиту императора Александра 11; тогда же Ивану Семеновичу был вручен орден Св. Владимира 3-й степени "за заслуги перед Отечеством".

В 1861 году морская карьера И.С. Унковского завершилась, и он именным Указом императора был командирован в Черниговскую губернию для наблюдения за исполнением Манифеста об отмене крепостного права. Летом того же года он был назначен на должность губернатора Ярославской губернии, на которой находился 16 лет.

За активную деятельность в процветании губернии И.С. Унковского в 1873 году избрали в сенаторы. За достижения на этом поприще И.С. Унковский был пожалован в полные кавалеры орденов Св. Анны, Св. Владимира, Св. Станислава, награжден орденами Белого Орла и Св. Александра Невского. В 1866 году ему присвоили чин вице-адмирала, а в 1879 году – адмирала. Он стал Почетным гражданином городов Ярославля, Мологи, Рыбинска.

В 1877 году Иван Семенович с семьей переехал в Москву. Государственная служба моряка закончилась на посту директора Николаевского сиротского института.

Иван Семенович был женат на Анне Николаевне Коровкиной, которая была на 26 лет моложе своего мужа. У них было пять дочерей - Анна, Варвара, Евдокия, Екатерина, Ольга и сын Семен.

Иван Семенович Унковский умер 11 (23) августа 1886 года в Москве и был похоронен в склепе церкви Тихвинской Богоматери села Козлово Перемышльского уезда Калужской губернии.