Иван Семёнович родился 29 марта (10 апреля) 1822 года.

В 1835 году Семен Яковлевич определил его в Морской кадетский корпус, который последний окончил в 1839 году в звании мичмана. Свою военную службу И.С. Унковский начал в 8-м Балтийском флотском экипаже. Кампанию 1840 года молодой офицер провел в море на брандвахтенном бриге «Казарский».

Позднее Иван Семёнович вспоминал, что ему «... морская служба нравилась, но в ту пору море еще не охватило души». Отец, заметив, что «... недостаток простора, отсутствие случая толкнуть еще не проснувшиеся силы» сына могли сделать его безразличным к избранному роду службы, обратился с просьбой к своему другу, адмиралу М.П. Лазареву, о переводе Унковского-младшего на Черноморский флот. И с апреля 1842 года Иван Семёнович был назначен адъютантом к командующему флотом адмиралу М.П. Лазареву.

Как представитель командующего, И.С. Унковский постоянно находился в плаваниях на различных кораблях. В 1843-1844 гг. в качестве вахтенного командира на бриге «Персей» он вначале отправился из Одессы в Пирей (Греция) с поручениями командования к российскому посланнику, а затем «со специальными заданиями» побывал во многих портах Средиземноморья. Итогом его похода в Архипелаг явился подробный отчет Морскому ведомству о состоянии иностранных военных флотов и политической обстановке, складывавшейся на Балканах к середине XIX века. Этот труд Ивана Семёновича высоко оценило начальство, наградив его орденом Св. Станислава 3-й степени.

Весной 1845 года лейтенант И.С. Унковский на пароходофрегате «Громоносец» нес крейсерную службу у восточных берегов Черного моря, где не раз высаживал воинские десанты. «За отличие» он был удостоен ордена Св. Анны 3-й степени.

В 1846 году Ивана Семёновича назначили командовать яхтой «Арианда». Когда в 1848 году на Балтике были объявлены императорские гонки на яхтах, то Черноморский флот в них представлял И.С. Унковский. Совершив переход на «Арианде» из Николаева в Кронштадт, команда яхты в упорных состязаниях одержала победу и была награждена высочайшим призом» - серебряным ковшом, украшенным драгоценными камнями, а ее командир получил раньше срока чин капитан-лейтенанта.

В 1849 году И.С. Унковский возглавил экипаж брига «Эней», на котором патрулировал абхазские берега, а в 1850-1851 гг. с «особым» заданием ходил в Средиземное море В начале 1852 года Ивана Семёновича отозвали в Санкт-Петербург для определения его командиром фрегата Паллада. Фрегат отправлялся в Нагасаки (Япония) вместе с русской дипломатической миссией во главе с вице- адмиралом Е. В. Путятиным.

7 октября 1852 года фрегат «Паллада» снявшись с якоря, отправился из Кронштадта в Тихий океан через южную оконечность африканского континента – мыс Доброй Надежды в длительное плавание, которое продолжалось около трех лет.

Весной 1854 года командой фрегата были произведены съемка и описание всего восточного берега Кореи к северу от 35-й параллели и прилегающие участки русского побережья от 420300 с.ш. на протяжении 1500 километров. Русские моряки открыли залив, названный в честь старшего офицера фрегата Константина Николаевича Посвета, а также острова Римского-Корсакова и залив Ольги. Секретарь Е.В. Путятина и участник этого морского путешествия писатель И.А. Гончаров так характеризовал Ивана Семёновича во время плавания: «Вот там-то между шкафом н пианино, крепко привинченными к стене и полу, была одна полукруглая софа, представлявшая надежное убежище от кораблекрушения. Любезный гостеприимный хозяин Иван Семёнович Унковский предоставлял ее в полное мое распоряжение.

Сам он не был изнежен и почти ею не пользовался, особенно в непогоду. Тогда он не раздевался, а соснет где-нибудь в кресле, готовый каждую минуту бежать на палубу».

За проделанную исследовательскую работу Ивану Семёновичу в 1854 году присвоили чин капитана 2 ранга, а затем, по возвращению в столицу, его наградили орденом Св. Анны 2-й степени.

В 1855 году фрегат «Паллада», отслуживший свой срок, был разоружен и затоплен в заливе Хаджи (ныне – Советская гавань), а Иван Семёнович Унковский «за особые заслуги» был произведен в капитаны 1 ранга с назначением командиром новопостроенного винтового фрегата «Аскольд». На этом корабле Иван Семёнович вновь в 1857 году отправился на Дальний Восток, где, «состоя начальником штаба объединенных эскадр», плавал у берегов Японии, Кореи и Китая.

В 1877 году Иван Семёнович с семьей переехал в Москву. Государственная служба моряка закончилась на посту директора Николаевского сиротского института.

Вернувшись на Родину весной 1860 года, И.С. Унковский получил чин контр-адмирала с зачислением в свиту императора Александра II; тогда же Ивану Семёновичу был вручен орден Св. Владимира 3-й степени «за заслуги перед Отечеством». В письме к И.Ф. Лепехину брат И.С. Унковского – Сергей Семёнович писал: «... Ивана Семёновича очень ласкали и были к нему любезны. Императрица к нему была чрезвычайно приветлива и, не стыдясь нарушить придворный этикет, посадила его около себя и весь обед проговорила с ним. Иван Семёнович остался ее беседой очень доволен и говорил, что она такую живую речь вела с ним, что это на всю жизнь останется ему самым лучшим воспоминанием!».

Иван Семёнович Унковский умер 11 (23) августа 1886 года в Москве и был похоронен в склепе церкви Тихвинской Богоматери села Козлово Перемышльского уезда Калужской губернии.